برهان خلف را بررسی کنیم

۱٫ ایده های اساسی

استفاده از این اصطلاحات لاتین به عبارت یونانی hê eis to adunaton apagôgê برمی گردد که به غیرممکن تقلیل یافته است ، که بارها و بارها در تجزیه و تحلیل قبلی ارسطو یافت شده است . در اغلب تفسیر کلی آن، خلف – خلف برای کوتاه – عواقب و آشکارا غیر قابل دفاع از پذیرش آیتم در موضوع امدن – یک فرایند رد را در مواردی که پوچ است. این امر با توجه به پیامدهای غیرقابل تحمل آن ، سه شکل اصلی دارد:

1. تضاد با خود ( ad absurdum )
2. یک دروغ ( آگهی اشتباه یا حتی آگهی غیر ممکن )
3. غیرقابل پیش بینی یا ناهنجاری ( مسخره تبلیغاتی یا غیر متداول )

اولین مورد reductio ad absurdum در سخت ترین ساختار آن است و دو مورد دیگر شامل حس وسیع تر و سست تری از این اصطلاح است. برخی از مشروط هایی که به این حالت اخیر دامن می زنند عبارتند از:

• اگر اینطور است ، من عموی میمون هستم.
• اگر این درست باشد ، خوک ها می توانند پرواز کنند.
• اگر او چنین کرد ، من شاه ایران هستم.

آنچه ما در اینجا داریم عواقبی است که به معنای آشکارا دروغ بودن و در واقع حتی کمی مضحک پوچ است. علیرغم خروج آن از آنچه به سختی چنین تفسیر می شود-مشروط به تناقض با خود-نتیجه گیری های گاه به گاه-این نوع چیزها همچنین به عنوان یک روش کاهش یافته کاهش می یابد . اما در حالی که هر سه مورد در محدوده اصطلاح مورد استفاده قرار می گیرند ، منطق دانان و ریاضیدانان به طور کلی اولین و قوی ترین آنها را در نظر دارند.

توضیحات معمول reductio نمی تواند گستره وسیعی از کاربرد آن را تصدیق کند. زیرا حداقل چنین ابطال فرایندی است که می توان از آن استفاده کرد

• گزاره ها یا تزهای فردی
• گروهی از گزاره ها یا پایان نامه ها (یعنی آموزه ها یا موضع گیری ها یا آموزه ها)
• شیوه های استدلال یا استدلال
• تعاریف
• دستورالعمل ها و قوانین داخلی
• شیوه ها ، سیاست ها و فرایندها

وظیفه بحث حاضر این است که شیوه های استدلال مورد بحث در مورد reductio را توضیح دهد و محدوده کاری کاربردهای آن را نشان دهد.

۲٫ منطق تقلیل پیشنهادی دقیق: اثبات غیرمستقیم

وایتهد و راسل در Principia Mathematica اصل ” reductio ad absurdum ” را معادل فرمول (~ p → p ) → p منطق گزاره توصیف می کنند. اما این دیدگاه خاص است. در جاهای دیگر این اصل تقریباً به عنوان شیوه ای استدلالی در نظر گرفته می شود تا یک تز خاص از منطق گزاره ای.

تقلیل پیشنهاد بر اساس استدلال زیر است:

اگر p ⊢ ~ p ، سپس ~ ~ p

در اینجا ⊢ نشان دهنده قابلیت اطمینان است ، مطلق یا مشروط (یعنی مشتق پذیری). از آنجا که p ⊢ q s p → q تولید می کند ، این اصل را می توان به شرح زیر ایجاد کرد:

فرض کنید (۱) p . ~ p

(۲) ⊢ p → ~ p از (۱)

(۳) ⊢ p → ( p & ~ p ) از (۲) از p → p

(۴) ⊢ ~ ( p & ~ p ) → ~ p از (۳) برعکس

(۵) p ~ ( p & ~ p ) توسط قانون تناقض

(۶) ⊢ ~ p از (۴) ، (۵) توسط modus ponens

بر این اساس ، استدلال فوق الذکر یک اصل فرض شده را نشان نمی دهد ، بلکه یک قضیه است که از اشتراک تا بدیهیات مختلف و قواعد اثبات ، همانطور که در استنباط تازه ارائه شده ، مطرح می شود.

استدلال مورد بحث در اینجا زمینه ای را فراهم می آورد که به آن اثبات غیرمستقیم می گویند. این فرایند justificating استدلال که فرایند زیر هنگامی که شی است که برای ایجاد یک نتیجه گیری قطعی است ص :

(۱) فرض کنید- ص

(۲) استدلالی ارائه دهید که p از این فرض گرفته می شود.

(۳) p را بر این اساس حفظ کنید.

چنین استدلالی در واقع صرفاً اجرای اصل فوق الذکر است که ~ p به جای p قرار گرفته است .

همانطور که این خط فکری نشان می دهد ، استدلال reductio یک مورد خاص از استدلال های نمایشی است. آنچه ما در اینجا با آن سروکار داریم ، بحث الگو است: از موقعیت

(فرض قابل رد + ترکیب حقایق از پیش تعیین شده) ⊢ تناقض

یکی با استفاده از استدلال modus tollens به انکار این فرض قابل تکذیب می پردازد.

یک مثال کمک من برای روشن شدن مسائل. تقسیم بر صفر را در نظر بگیرید. اگر این امکان وجود داشته باشد زمانی که x ۰ نیست و ما x ÷ ۰ را برای تشکیل کمی از مقدار Q در نظر گرفتیم ، در این صورت x ÷ ۰ = Q داریم به طوری که x = ۰ x Q به طوری که از ۰ x (هر چیزی) = ۰ ما باید X = ۰، خلاف فرض. این فرض که x ÷ ۰ به عنوان یک مقدار مشخص تعریف می شود در نتیجه رد می شود.

۳٫ یک مثال کلاسیک از استدلال Reductio

یک مثال کلاسیک از استدلال تقلیل یافته در ریاضیات یونان مربوط به کشف فیثاغورس است – که توسط هیپاسوس متاپونتومی در قرن پنجم قبل از میلاد مسیح با همکارانش شگفت زده شد – از قیاس ناپذیری مورب یک مربع با اضلاع آن. استدلال مورد بحث به شرح زیر است:

فرض کنید d طول مورب یک مربع و s طول اضلاع آن باشد. سپس با قضیه فیثاغورس آن را داریم که d ² = ۲ s . حال فرض کنید (با فرض تقلیل ) که d و s بر حسب یک واحد مشترک u قابل مقایسه بودند ، بنابراین d = n x u و s = m x u ، جایی که m و n اعداد صحیح (اعداد صحیح) هستند بدون تقسیم کننده مشترک (اگر تقسیم کننده مشترکی وجود داشت ، می توانستیم آن را به u تغییر دهیم.) حالا ما این را می دانیم

( n x u ) ² = ۲ ( m x u )

سپس آن را داریم که n ² = ۲ m . این بدان معناست که n باید زوج باشد ، زیرا فقط اعداد صحیح دارای مربع زوج هستند. بنابراین N = ۲ K . اما اکنون n ² = (۲ k ) ² = ۴ k ² = ۲ m ² ، به طوری که ۲ k ² = m . اما این بدان معناست که m باید زوج باشد (با همان استدلال قبلی). و این بدان معناست که m و nبرخلاف این فرضیه که این دو ندارند ، تقسیم کننده های مشترکی خواهند داشت (یعنی ۲). بر این اساس ، از آنجا که آن فرض مقادیر اولیه تناقض ایجاد کرد ، ما چاره ای جز رد آن نداریم. بر این اساس ، تز غیرقابل مقایسه بودن ایجاد شده است.

همانطور که در بالا نشان داده شد ، این نوع اثبات یک پایان نامه با استدلال reductio که از نفی آن تضاد می گیرد ، به عنوان اثبات غیر مستقیم در ریاضیات مشخص می شود . (در زمینه پیشینه تاریخی به TL Heath ، A History of Greek ریاضیات مراجعه کنید [Oxford، Clarendon Press، ۱۹۲۱].)

استفاده از چنین استدلالهای کاهش دهنده در ریاضیات یونان رایج بود و همچنین در دوران باستان و پس از آن توسط فیلسوفان مورد استفاده قرار می گرفت. ارسطو از آن در تجزیه و تحلیلهای پیشین برای نشان دادن قیاسهای به اصطلاح ناقص استفاده کرد در حالی که قبلاً توسط افلاطون در زمینه های دیالکتیکی استفاده شده بود (به جمهوری I ، ۳۳۸C-343A ، پارمنیدس ۱۲۸d مراجعه کنید). کل بحث امانوئل کانت در مورد آنتیومینی ها در نقد عقل محض بر اساس استدلال تقلیل یافته بود .

مکتب ریاضی به اصطلاح شهود گرایی در مورد محدودیت استدلال تقلیل یافته به منظور اثبات وجود موضع مشخصی را اتخاذ کرده است . بنابراین آنها معتقدند که تنها راه معتبر برای ایجاد وجود ، ارائه مثال یا مثال عینی است: استدلال کلی عمومی در اینجا قابل قبول نیست. این بدان معناست که شخص نمی تواند (∃ x ) Fx را با استنباط پوچی از (∀ x ) ~ Fx تعیین کند . بر این اساس ، شهود گراها اجازه نمی دهند که ما از وجود اجداد بی مهرگان homo sapiens استنباط کنیم.از پوچ بودن این فرض که انسان در طول راه مهره دار است. آنها معتقد بودند که در مواردی که ما در مورد افراد درگیر در تاریکی کامل هستیم ، نمی توانیم وجود آنها را حفظ کنیم.

۴٫ خودکشی: فرایندهایی که باعث ایجاد تناقض می شوند

نه تنها می توان یک بیانیه ناسازگار با خود (و در نتیجه خود نفی کننده ، خود نابودکننده) بلکه یک فرایند یا تمرین یا اصل رویه خود ناسازگار را “به پوچی” تقلیل داد. برای هر گونه شیوه عملکردی به برخی دستورالعمل ها (یا ترکیبی از آنها) پاسخ داده می شود ، و چنین دستورالعمل هایی همچنین می توانند خود متناقض باشند. نمونه هایی از این موارد عبارتند از:

• هرگز نگو هرگز.
• تا زمانی که انبار جدید ساخته نشود ، انبار قدیمی را دست نخورده نگه دارید. و انبار جدید را از موادی که با تخریب قدیمی ذخیره شده است بسازید.

راحت تر ، دستورالعمل هایی نیز وجود دارد که به طور خودکار به نتیجه منطقی پوچ (خود متناقض) نمی انجامد ، اما در شرایط و شرایط خاص ، دریچه چنین پوچی را باز می کند. در این راستا ، یک قاعده عملی یا روش عملیوقتی می توان نشان داد که پذیرش و اجرای واقعی آن منجر به ناهنجاری می شود ، به پوچی تبدیل می شود. تصویری از این نوع شرایط را در نظر بگیرید. مردی با ترک املاک متشکل از خانه شهر ، حساب بانکی ۳۰ هزار دلاری ، سهم خود در مشاغل خانوادگی و چند قطعه جواهرات لباس از مادرش می میرد. وصیت نامه او مشخص می کند که خواهرش باید هر سه مورد از اشیاء قیمتی را در املاک خود داشته باشد و دخترش باید بقیه را در ذات خود داشته باشد. خواهر خانه ، دستبند و گردنبند را انتخاب می کند. مجری از توزیع خودداری می کند و خواهر او را به دادگاه می برد. بدون تردید قاضی حکمی مانند “یافتن شاکی می تواند منجر به ابزورد شود” خواهد بودبه او همچنین می توانست نه تنها برای خانه بلکه برای حساب بانکی و مشاغل نیز تصمیم بگیرد و در نتیجه عملاً دختر را از ارث برد ، که به وضوح خواست وصیت کننده نبود. ” در اینجا یک نوع حقوقی reductio ad absurdum داریم . در واقع اجرای این قانون در همه موارد واجد شرایط-به طور کلی استفاده از آن در کل-نتیجه ای غیرقابل قبول و نامطلوب به همراه خواهد داشت تا این قانون بتواند در اجرای بدون محدودیت واقعی خود تخریب شود. (این نوع استدلال در زمینه های حقوقی رایج است. بسیاری از این موارد در حقوق رومی David Daube مورد بحث قرار گرفته است[ادینبورگ: انتشارات دانشگاه ادینبورگ ، ۱۹۶۹] ، صص ۱۷۶-۹۴٫) امانوئل کانت آموخت که شیوه های بین فردی نمی توانند شیوه های مناسب اخلاقی را نشان دهند در صورتی که از این طریق با قوانین قابل تعمیم شفاهی مطابقت نداشته باشند. شیوه هایی مانند سرقت (یعنی گرفتن اموال شخص دیگری بدون مجوز لازم) یا دروغ گفتن (یعنی دروغ گفتن در جایی که به نفع شماست) قوانین نامناسبی است ، بنابراین کانت معتقد است ، دقیقاً به این دلیل که اگر اصطلاحات مربوطه در کل کلیت داده شود ، چنین خواهد بود. کاملاً غیر عادی (به ترتیب منجر به نابودی مالکیت مالکیت و ارتباطات شفاهی می شود. از آنجا که شیوه های منطبق با قوانین در اجرای کلی آنها به پوچی می انجامد ، چنین شیوه هایی از نظر اخلاقی غیرقابل قبول تلقی می شوند. برای کانت ،

۵٫ نابودی اعتقادی: مجموعه ای از اظهارات که در مجموع ناسازگار هستند

حتی همانطور که می توان اظهارات فردی را تضاد با خود نشان داد ، بنابراین تعدد جملات (به اصطلاح “آموزه”) می تواند در مجموع ناسازگار باشد. و بنابراین در این زمینه استدلال کاهش نیز می تواند عملیاتی شود. به عنوان مثال ، تزهای شماتیک زیر را در نظر بگیرید:

• A → B
• B → C
• C → D
• نه- D

در این زمینه ، این فرض که A را می توان با reductio ad absurdum رد کرد . اگر به این مقدمات به هم چسبیده بودند، ما در هر دو وارد D و نا D است که آشکارا پوچ. بنابراین در زمینه این خانواده داده ها غیرقابل قبول است (دروغ). هنگامی که کسی “در تضاد گرفتار می شود” در این راه موقعیت خود به خود تخریب می کند و به پوچی می انجامد. یک مثال از طریق تبادل بین سقراط و متهمانش که او را به بی خدا بودن متهم کرده بودند ، ارائه می شود. این مخالفان در تشریح این اتهام ، سقراط را نیز متهم به اعتقاد به موجودات الهام گرفته ( دایمونیا ) کردند. اما در اینجا الهام الهام الهی است چنینفرض بر این است که دایمونیسم الهام گرفته از یک خدا است. و در این مرحله سقراط یک دفاع آماده دارد: چگونه می توان کسی را به خدا باور نکرد در حالی که اعتقاد دارد به موجودات الهام گرفته از خدا اعتقاد دارد. متهمان او در اینجا دچار تناقض با خود می شوند. و موقعیت آنها بر این اساس به پوچی می انجامد. (مقایسه کنید با ارسطو ، Rhetorica ۱۳۹۸a12 [II xxiii 8].)

۶٫ تعاریف و مشخصات پوچ

حتی همانطور که دستورالعمل ها می توانند به صورت پوچ صادر شوند ، تعاریف و توضیحات نیز می توانند. به عنوان مثال:

• ZOR یک مربع دور است که رنگ سبز است.

دوباره جفت زیر را در نظر بگیرید:

• پرنده یک حیوان مهره دار است که پرواز می کند.
• شترمرغ گونه ای از پرندگان بدون پرواز است.

تعاریف یا مشخصات که در اصل رضایت بخش نیستند به همین دلیل پوچ است.

۷٫ بر اساس استدلال غیر ممکن

بر اساس استدلال غیرممکن ، از یک فرض کاملاً غیرممکن ناشی می شود. این ارتباط تنگاتنگ با استدلال reductio ad absurdum دارد ، گرچه کاملاً متفاوت است. در اینجا ما باید با مفروضات غیرممکن به معنای واقعی کلمه روبرو شویم که نه تنها به طور چشمگیری بلکه به دلیل درگیری منطقی با برخی از حقایق واضح ضروری ، ضرورت منطقی یا مفهومی یا ریاضی یا فیزیکی ، نه تنها به طور چشمگیری ، بلکه لزوما نادرست هستند. به طور خاص ، چنین فرض کاملاً غیرممکن ممکن است موارد زیر را نفی کند:

• یک ضرورت (منطقی-مفهومی) (“بی شمار اعداد اول وجود دارد”).
• یک قانون طبیعت (“آب در دمای پایین یخ می زند”).

مفروضات از این دست معمولاً باعث ایجاد موارد غیرممکن می شوند مانند:

• اگر ( در غیر ممکن ) آب یخ نمی زد ، یخ وجود نداشت.
• اگر در غیرممکن ، خوک ها می توانستند پرواز کنند ، گاهی آسمان مملو از پرکر بود.
• اگر سریعتر از سرعت نور به فضا منتقل می شدید ، پس از سفری جوانتر از ابتدا برمی گشتید.
• حتی اگر اولیه های کمتر از ۱،۰۰۰،۰۰۰،۰۰۰ وجود نداشته باشد ، تعداد اولیه ها بی نهایت خواهد بود.
• اگر ( در غیرممکن ) فقط تعداد بیشماری اعداد اول وجود داشت ، پس بزرگترین عدد اول وجود داشت.

یک مثال ریاضی تا حدی جالب تر به شرح زیر است: اگر در صورت غیرممکن ، یک مثال متضاد برای آخرین قضیه فرما وجود داشته باشد ، مثالهای متقابل بی نهایت زیادی وجود خواهد داشت ، زیرا اگر x ^k + y ^k = z ^k ، پس ( nx ) ^k + ( ny ) ^K (= NZ ) ^K ، برای هر ک .

با چنین موارد غیر محتمل غیر ممکن ، ما تصور می کنیم که بعنوان یک پیشینه غیرممکن و در نتیجه نادرست شناخته می شود ، این کار را نه به منظور رد آن به عنوان پوچ (مانند استدلال reductio ad absurdum ) ، بلکه به منظور انجام بهترین کار می توان آن را نشان داد پیامدهای “طبیعی”

مجدداً موارد خلاف واقع را در نظر بگیرید:

• اگر ( در غیرممکن ) ۹ بدون ۴ باقی مانده بر ۴ بخش پذیر باشد ، آنگاه یک عدد زوج خواهد بود.
• اگر ( در غیر ممکن ) ناپلئون هنوز هم امروز زنده شد، او را در حالت سیاست بین المللی در اروپا را شگفت زده.

فرمول بندی تقریباً معادل همان موضوعی که مورد بحث این دو بحث است عبارت است از:

• هر عددی بدون باقی مانده بر ۴ بخش پذیر است.
• طبق معیارهای فرانسه ناپلئونی ، وضعیت کنونی سیاست بین المللی در اروپا شگفت انگیز است.

با این حال ، تعیین ناممکن نشان می دهد که خود شرطی است که به ما مربوط می شود. دغدغه ما بیشتر مربوط به شخصیت آن رابطه پیامد است تا رابطه متقدم یا متعاقب آن. در این راستا ، وضعیت کاملاً متفاوت از استدلال تقلیل است که ما به دنبال آن عدم قطعیت قبلی را ثابت می کنیم. بنابراین ، برای همه مقاصد و مقاصد ، موارد خلاف واقع می توانند به طور واضح دارای اهداف واقعی باشند. و بنابراین ، اغلب آنچه در ظاهر مشروط غیرممکن به نظر می رسد اینطور نیست. بنابراین در نظر بگیرید

• من اگر جای شما بودم پیشنهاد او را می پذیرفتم.

واضح است که مقدمه/فرض “من = تو” پوچ است. اما حتی کوچکترین توجه به آنچه از نظر ارتباطی در اینجا اتفاق می افتد نشان می دهد که آنچه مورد بحث است این غیرممکن بودن فقط بیان نشده بلکه خلاف واقع فرمت است:

• اگر من به جای شما بودم (یعنی اگر در شرایطی که اکنون شما در آن هستید به سر می برید) ، من با پزشک مشورت می کردم.

تنها با ادبیات کلامی نادرست ، پوچی آن مقدمه می تواند برای ما نگران کننده باشد.

یک نکته پایانی تضاد بین تقلیل و استدلال غیر ممکن درس جالبی را منتقل می کند. در هر دو مورد به طور یکسان ما با موقعیتی دقیقاً با همان شکل اولیه شروع می کنیم ، یعنی تضاد تضاد بین فرض فرض و حقایق مختلف که از قبل می شناسیم. تفاوت کاملاً در ملاحظات عملگرا نهفته است ، در آنچه ما تلاش می کنیم انجام دهیم. در یک مورد ( reductio ) ما به دنبال رد و رد آن مفروضات به منظور اثبات نفی آن هستیم ، و در مورد دیگر ( در غیر ممکن) موردی که ما سعی در ایجاد یک دلالت داریم – برای تأیید شرطی. بنابراین تفاوت در پایین نه در ماهیت استنباط مورد بحث ، بلکه فقط در چیزی است که ما سعی می کنیم به وسیله آن به آن برسیم. بر این اساس ، تفاوت نه چندان کاربردی است ، بلکه یک تفاوت عملگرا در اهداف است.

۸٫ منابع و خواندن بیشتر

• دیوید داوب ، حقوق رومی (ادینبورگ: انتشارات دانشگاه ادینبورگ ، ۱۹۶۹) ، صص ۱۷۶-۹۴٫
• M. Dorolle ، “La valeur des përfundim par l’ absurde ” ، Révue فلسفی ، جلد. ۸۶ (۱۹۱۸) ، صص ۳۰۹-۱۳٫
• TL Heath ، A History of Greek ریاضیات ، جلد. ۲ (آکسفورد: Clarendon Press، ۱۹۲۱) ، صص ۴۸۸-۹۶٫
• A. Heyting، Intuitionism: An Introduction (آمستردام ، انتشارات North-Holland Pub. Co.، ۱۹۵۶).